单晶锗具有较高的红外折射率、良好的热学和力学性能，是最重要的红外光学材料之一，特别适用于军工、航空航天及民用等工程应用，包括红外夜视系统、X射线单色仪、高分辨率伽马辐射探测器、光子芯片和太阳能电池^[1]。全球30%以上的锗应用于红外光学^[2]。近年来，随着红外光学领域的飞速发展，各行各业对锗的需求不断增加，对单晶锗表面加工质量的要求也越来越高^[3]。采用传统接触式磨削、车削等加工锗时容易产生较大的残余应力，而且刀具磨损严重，工件存在亚表面损伤、加工效率低等问题，难以获得理想的加工表面。针对传统加工方法的不足，近年来出现了磁流体研磨技术。磁流体研磨技术^[4]是基于磁流体效应的一种非接触式确定性的超精密加工技术，利用磁流体在磁场作用下所具有的液体流动性和磁性材料所具有的磁化特性，对工件进行微量去除，避免了机械研磨容易造成的机械损伤，从而更好地获得超光滑表面。

DONALD等^[5-6]等最先将磁流体研磨技术用在光学元器件加工领域，且充分研究了磁流体研磨抛光的微观机理，并做了大量试验，分析了这种工艺诸多优点，就多种磁流体研磨抛光装置和方法申请了专利。李蓓智等^[7]分析了磁流体研磨过程中梯度磁场对研磨效果的影响，并提出了磁路设计需要注意的问题，最后通过ANSYS软件对设计的磁路结构进行了有限元分析。石峰等^[8]采用磁流体加工方法代替传统研磨工序研磨K9玻璃，发现该方法能显著提高工件表面质量，消除材料亚表面损伤。褚聪等^[9]使用Fluent 有限元软件分析了磨粒浓度对工件表面压力的影响，发现浓度为15%时的磨粒流可对工件表面产生最大压力。陈宏安等^[10]等利用COMSOL软件建立两相流模型，采用水平集函数的方法，模拟了气体环境中液滴的瞬态动力学行为。王强^[11]利用COMSOL完成了对空间磁场分布的模拟。冯洋^[12]针对磁场作用下磁性微粒的团聚行为，建立了磁场流场共同作用下的磁性微粒的流固耦合动力学模型，并利用COMSOL有限元软件对磁性微粒的团聚行为进行了有限元分析。

针对锗片开展旋转磁场磁流体研磨的数值模拟，研究锗片表面在固液两相流作用下的材料去除行为。首先，分析磁流体研磨的原理；然后，通过对磁场、流场及固体力场3种物理场的仿真，确定锗片研磨加工的最佳工艺参数；最后，进行磁流体研磨试验，验证仿真的有效性。

1.   计算模型及方法

1.1   磁流体研磨原理

磁流体研磨液通常由磁性颗粒、基载液、分散剂以及磨料混合均匀搅拌而成。由于Fe₃O₄具有较高的铁磁性、本身还是天然的磨料，且对水无污染、无毒害、易清洗。故将颗粒尺寸为5 μm的Fe₃O₄磁性颗粒与水混合制成水基Fe₃O₄磁流体研磨液。

图1是旋转磁场磁流体研磨的原理图。圆柱形永磁体固定在磁盘上，位于抛光容器下方。抛光容器放置在工作台上，将需要加工的工件粘在容器底部，并将配制好的水基Fe₃O₄磁流体研磨液倒入抛光容器中。电动机带动磁极旋转，从而形成旋转磁场。磁性颗粒在旋转磁场作用下会沿磁力线方向形成柔性磁力链运动，对液体产生搅拌作用，液体也会反作用在磁力链上。同时磁力线实时变化，导致研磨液中的磁力链不断断裂，并重新生成，从而持续地研磨工件表面。

图  1  旋转磁场磁流体研磨原理

Figure  1.  Principle of magnetic fluid lapping with rotating magnetic field

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对锗片磁流体研磨过程的模拟涉及磁场、流场以及固体力场3种物理场，由于COMSOL软件具有多物理场耦合的优势，因此采用COMSOL软件进行求解计算。

1.2   控制方程

根据麦克斯韦理论式的磁通连续性原理、标量磁势以及永磁体的本构模型即可求出永磁体产生的磁场分布情况：

式中：$ \mu $为媒介的磁导率；$ {H} $为磁场强度，A/m；$ V_{\mathrm{m}} $为磁标势，A；$ \mu_{0} $为真空磁导率；$\mu_{{\rm{r}}}$为相对磁导率；$ B $为磁感应强度，T；$ B_{\mathrm{r}} $为剩余磁通密度，T。

在旋转磁极的带动下，磁流体研磨液中的磁性颗粒相受到磁场力的作用，进而带动整个流体旋转。首先考虑在一定的温度下，磁性颗粒相所受的磁场力，根据ROSENSWIG ^[13]的推导，磁性流体在不考虑温度影响时，单位体积磁性流体所受的磁场力$F_{\text {磁 }}$在各个方向上的分量为：

式中：$ f _x, f _y, f _z$磁场力在x，y，z方向上的分力，N；$ M_x,M_y,M_z $为x，y，z方向上的磁化强度，A/m。$H_x,H_y,H_z, $是x，y，z方向上磁场强度，A/m。

由此推出磁性颗粒相的总体积受力为：

式中：$V_{颗粒相 }$为颗粒相的体积分数，%。

将磁流体视为不可压缩的层流，由Navier-Stokes方程控制：

式中：$ \rho $为流体密度，kg/m³；$ {u} $为流体速度，m/s；$ p $为流体的压强，Pa；I为单位向量；$ K $为应力张量；$ F $为总体积受力，N。

为了跟踪水相和颗粒相2种流体之间界面的演变，仿真模型采用水平集的方法。2相之间的界面由一个平滑的阶跃函数$ \phi $表示。$ \phi $等于0表示水相，等于1表示颗粒相，在水—颗粒界面的过渡层中，$ \phi $从0平滑过渡到1。借助这种界面表示方法，可以通过水平集函数计算自由表面的运动：

式中：$ \gamma $为方程求解中的重新初始化参数，$\varepsilon $为界面厚度控制参数。

界面密度和黏度系数的变化由下式定义：

式中：$\rho_{{\rm{w a t e r}}} $为水的密度，kg/m³；$ \rho_{\mathrm{Fe}_3 O_4}$为颗粒相的密度，kg/m³；$ \mu_{\text {water }} $为水的黏度，Pa·s；$\mu_{\mathrm{Fe}_3 \mathrm{O}_4} $为颗粒相的黏度，Pa·s。

因此，界面密度和黏度系数跨流体界面平滑的变化，能够跟踪流体界面并描述其物理特性的变化。

工件表面的剪切应力由牛顿内摩擦定律决定，公式如下：

式中：$ \tau $为剪切应力，N/m²；$ {\rm{d}} u / {\rm{d}} y $为速度梯度（即剪切速率），s⁻¹。

1.3   仿真模型

如图2a所示：参考实际强磁抛光机的尺寸，建立磁流体研磨锗片的理想化几何模型，该模型由励磁装置、流场2部分组成。励磁装置由8块直径为60 mm，高为10 mm的圆柱形钕铁硼永磁体构成，牌号为N50，按照图2b排列方式固定在磁盘上，在电动机带动下旋转。流场的仿真模型截面如图2c所示，蓝色区域代表水，黑色区域代表颗粒相，红色区域代表锗片。抛光容器直径为360 mm，高度为80 mm。锗片高度为2 mm，直径为50 mm。

图  2  模型图

Figure  2.  Model figure

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1.4   网格剖分

选取整个模型区域为计算区域，通过COMSOL软件的网格剖分功能进行剖分，采用自由四面体网格。在有限元仿真中，网格质量对结果的精度影响较大，需要查询网格的统计信息，检验网格质量。经查询域单元总数为309 072，平均网格质量为0.678 4。由于网格质量范围是0~1.000 0，所以网格质量满足数值模拟要求。

1.5   建模方法

针对旋转磁场，采用永磁体励磁法实现，选用“旋转机械，磁场”接口，永磁体的剩余磁通密度为1.43 T，并设置动网格中旋转域的转速，对旋转磁场进行数值计算分析。针对流场，选用“旋转机械，两相流，水平集”接口对磁流体中固液两相流进行分析。以颗粒相的体积分数表征颗粒的含量，颗粒相由粒径为5 μm的Fe₃O₄构成，其密度为5 180 kg/m³；液相为水，密度为1 000 kg/m³。将磁场力以体积力的形式添加到流场中，对流场进行数值计算分析。针对工件锗片，选用“固体力学”接口，设定材料的本构模型，锗片的密度为5 330 kg/m³，弹性模量为102.7 GPa，泊松比为0.28，将流场与固体力学进行流固耦合数值计算分析。采用瞬态计算，设定时间步长为0.001 s，确定总求解时间为0.240 s。

2.   结果与讨论

在研磨过程中，励磁间隙、不同时刻颗粒相的分布、磁极转速以及颗粒相体积分数等都会对加工质量和加工效率产生影响。因此，采用有限元仿真研究不同励磁间隙下的磁感应强度数值模拟，不同时刻颗粒相的分布情况，不同磁极转速、颗粒相体积分数对锗片表面的动态压强以及剪切应力的影响规律，为锗片研磨加工工艺参数的选择提供依据。

2.1   不同励磁间隙的磁感应强度数值模拟

在磁流体研磨过程中，磁流体研磨液能在磁场的作用下磁化，当旋转磁场运动时，磁流体研磨液会随着磁场的运动而运动。研究表明，旋转磁场能够在研磨区域形成良好的磁通路，提高研磨效率，获得更好的工件表面质量。因此，永磁体产生的梯度磁场对工件表面形貌与加工效率有着决定性作用，选择合适的励磁间隙对磁流体研磨质量非常重要。

为了探究磁流体研磨的最佳励磁间隙，在磁极转速为1 000 r/min、颗粒相体积分数为25%的工艺参数下，选取励磁间隙为5 mm、10 mm、15 mm、20 mm 4个间隙进行磁场仿真。

图3为不同励磁间隙下的磁感应强度分布图。由图3可知：随着励磁间隙的增大，磁感应强度的最大值逐渐减小，励磁间隙为5 mm的磁感应强度最大值最大。为了使磁流体研磨液搅拌均匀，需要满足2个条件：（1）存在低磁场甚至零磁场区域；（2）磁场梯度明显。

图  3  不同励磁间隙下的磁感应强度分布图

Figure  3.  Magnetic induction intensity distribution under different excitation gaps

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为了进一步说明情况，取不同励磁间隙下的磁感应强度沿x方向位置的变化规律，如图4所示。从图4可以看出：磁感应强度沿x方向位置的变化呈周期性的改变。在励磁间隙为5 mm时梯度较为明显，磁感应强度的最大值越大，磁流体磁化的效果越好，黏度越大，同时形成的剪切应力也越大。因此，励磁间隙选择为5 mm。

图  4  不同励磁间隙下的磁感应强度沿x方向位置变化图

Figure  4.  Position variation diagram of magnetic induction intensity along x direction under different excitation gaps

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2.2   不同时刻颗粒相的分布情况

为了探究不同时刻颗粒相在抛光容器中的分布情况，在励磁间隙为5 mm、磁极转速为1 000 r/min、颗粒相体积分数为25%的工艺参数下，选取仿真时间为0.06 s、0.12 s、0.18 s、0.24 s 4个时刻进行仿真。

从水平、竖直2个方向观察不同时刻颗粒相的分布情况，如图5所示，其中：图5a～图5d为水平方向的分布，图5e～图5h为垂直方向的分布，由图5可知：随着时间的增加，其颗粒相的分布类似为以回转半径为中心的同心圆分布。在相同回转半径区域内颗粒相的体积分数相同，且在0.18 s相对于0.12 s时可以清晰地看到，在抛光容器中心颗粒相体积分数越来越少，在永磁体上方形成的同心圆颗粒相体积分数越来越多，2个同心圆中间部分。由于颗粒相所受的离心力小于磁场力，颗粒相的体积分数也较少。而图5e～图5h中的竖直方向呈现山丘状分布，0.24 s颗粒相流动分布基本没有发生改变。

图  5  不同时刻颗粒相分布图

Figure  5.  Particle phase distribution at different times

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根据颗粒相的分布情况还可以确定工件的最佳加工位置，如图6所示。从图6可以看出：颗粒相体积分数在区域2所在的同心圆中分布较多，同时在此区域磁感应强度也较大，磁流体研磨液在工件表面分布均匀，保证了较好的加工效果。

图  6  工件最佳位置图

Figure  6.  Optimal position diagram of workpiece

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2.3   磁极转速对锗片表面压力分布的影响

为了探究不同磁极转速对锗片表面压力分布的影响，在励磁间隙为5 mm、颗粒相体积分数为25%的工艺参数下，选取磁极转速为600 r/min、800 r/min、1 000 r/min、1 200 r/min 的4个转速进行仿真。

图7为不同转速下的动态压强分布图。从图7可以看出：随着转速增加，工件表面的动态压强先增大后减小。这是因为磁极转速会影响旋转磁场的变化频率，磁极转速越大，磁场的变化频率越大。当磁极转速小于<1 000 r/min时，磁场的变化较慢，磁力链断裂重组充分，磁流体研磨液形成的抛光垫稳定，随着磁极转速的增加，锗片表面的动态压强逐渐增大。当转速>1 000 r/min时，磁场的变化较快，磁性颗粒受到的离心力较大，磁性颗粒有飞溅现象，使参与研磨的磁性颗粒减少，所以动态压强减小。

图  7  不同转速下的动态压强分布图

Figure  7.  Dynamic pressure distribution at different rotational speeds

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图8为不同转速下的剪切应力分布图。从图8可以看出：随着转速增加，工件表面的剪切应力先增大后减小，工件边缘的剪切应力大于中心处的。当转速<1 000 r/min时，随着磁极转速的增加，速度梯度增大，剪切速率增大，所以锗片表面的剪切应力逐渐增大。当转速>1 000 r/min时，磁性颗粒受到的离心力较大，导致研磨液黏度下降，所以锗片表面的剪切应力减小。

图  8  不同转速下的剪切应力分布图

Figure  8.  Shear stress distribution at different rotational speeds

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图9为磁极转速对动态压强、剪切应力的影响。从图9可知：当其他加工参数一定，转速为1 000 r/min时，锗片表面的动态压强、剪切应力都是最大值。因此，当转速为1 000 r/min时可实现锗片表面微小的塑性材料去除，锗片表面的材料去除效果最好。

图  9  磁极转速对动态压强、剪切应力的影响

Figure  9.  Influence of magnetic pole speed on dynamic pressure and shear stress

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2.4   颗粒相体积分数对锗片表面压力分布的影响

为了探究不同颗粒相体积分数对锗片表面压力分布的影响，在励磁间隙为5 mm、磁极转速为1 000 r/min的工艺参数下，选取颗粒相体积分数为10%、15%、20%、25% 的4个体积分数进行仿真。

图10为不同颗粒相体积分数下的动态压强分布图。从图10可以看出：随着体积分数的增加，工件表面的动态压强逐渐增大，说明工件表面的动态压强与颗粒相体积分数呈正相关。这是因为单位时间内参与研磨的磁性颗粒数目增多，磁性颗粒所受的磁场力变大，工件表面颗粒碰撞次数增多，所以工件表面所受的动态压强变大。

图  10  不同颗粒相体积分数下的动态压强分布图

Figure  10.  Dynamic pressure distribution under different particle phase volume fractions

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图11为不同颗粒相体积分数下的剪切应力分布图。从图11可以看出：随着颗粒相体积分数的增加，工件表面的剪切应力逐渐增大，工件边缘的剪切应力大于中心处的。这是因为单位时间内参与研磨的磁性颗粒数目增多，黏度变大，所以工件表面所受的剪切应力变大。

图  11  不同颗粒相体积分数下的剪切应力分布图

Figure  11.  Shear stress distribution under different particle phase volume fractions

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图12为颗粒相体积分数对动态压强、剪切应力的影响。通过图12可知：当其他参数一定，颗粒相体积分数为25%时，锗片表面的动态压强、剪切应力都是最大值。因此，当颗粒相体积分数为25%时可实现锗片表面微小的塑性材料去除，锗片表面的材料去除效果最好。

图  12  颗粒相体积分数对动态压强、剪切应力的影响

Figure  12.  Influence of particle phase volume fraction on dynamic pressure and shear stress

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3.   试验验证

为了检验仿真结果的有效性，进行磁流体研磨试验。试验的工件材料为单晶锗片，其直径为50 mm，高度为2 mm。首先将锗片固定在抛光容器的底部（位置如图6）；然后将配置好的水基Fe₃O₄磁流体研磨液倒入抛光容器中；打开强磁抛光机，并设定好加工参数：励磁间隙为5 mm，磁极转速为1 000 r/min，颗粒相体积分数为25%，研磨加工时间为60 min。

利用德国徕卡公司生产的DM2700M型金相显微镜对工件表面形貌进行观察，结果如图13所示。图13a为加工前锗片表面形貌，可以明显看到锗片表面具有凹坑。图13b为加工后锗片表面形貌，可以明显看到锗片表面加工后较为平坦，没有凹坑，因此工件表面质量得到明显改善。

图  13  金相显微镜观测加工前后表面形貌

Figure  13.  Surface morphology observed by metallographic microscope before and after machining

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为了获取锗片表面形貌的更多特征，使用日本JEOL公司生产的型号为JSM-6510F扫描电子显微镜对加工前后的工件表面进行观测。将工件放入含有水、清洗剂的超声波清洗机中清洗20 min，工件加工前后放大1000倍的表面形貌如图14所示。从图14a可以看出，初始工件表面有大量缺陷；从图14b可以看出，经过60 min研磨后，工件表面质量得到极大改善，原始表面的凹坑已基本去除，表面趋于平滑。

图  14  扫描电镜观测加工前后表面形貌

Figure  14.  Surface morphology before and after machining observed by scanning electron microscopy

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利用日本三丰轮廓测量仪CV-1000对工件表面粗糙度进行检测，表面粗糙度R_a由原来的500 nm下降到47 nm。综上可以看出，优化工艺参数使锗片获得了较好的研磨效果。

4.   结论

基于磁流体研磨原理，利用COMSOL有限元分析软件建立仿真模型，通过旋转磁场磁流体研磨锗片的数值模拟，得出如下结论：

（1）在励磁间隙为5 mm时，磁感应强度的最大值最大，梯度较为明显，磁流体磁化的效果较好，同时形成的剪切应力也最大。

（2）磁极转速直接影响旋转磁场的变化速率，进而影响磁流体研磨的材料去除能力。随着磁极转速增加，锗片表面的剪切应力先增大后减小，在磁极转速为1 000 r/min时，剪切应力最大。

（3）当颗粒相体积分数从10%增加到25%时，锗片表面的剪切应力逐渐增大，这是因为单位时间内参与研磨的磁性颗粒数目增多，磁性颗粒所受的磁场力变大，工件表面颗粒碰撞次数增多，所以工件表面所受的剪切应力变大。

（4）锗片在励磁间隙为5 mm、磁极转速为1 000 r/min、颗粒相体积分数为25%的加工条件下，研磨60 min后，工件表面质量得到很大改善，有效地去除了原始工件的表面缺陷，工件表面更为平坦。其表面粗糙度R_a由500 nm下降到47 nm。